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横向剪切干涉测试技术

横向剪切干涉技术[1]是一种利用两个形状完全一致、仅有微量横向偏移的波前使其在相互重叠区域发生干涉的高精度光学测量技术。横向剪切干涉仪与传统的泰曼格林(Twyman-Green)干涉仪或菲索(Fizeau)干涉仪相比，最显著的特点是没有参考光路，因而也不需要参考镜。横向剪切干涉仪的优点在于：其一是简化了系统结构，极大地降低了成本，尤其在一些复杂面形表面的测量上更为显著；其二是消除了由参考镜面形所引入的系统误差；其三很容易就能实现完全共光路，消除了测量过程中由环境因素带来的干扰。

基于以上这些特点，在应用方面，横向剪切干涉除了在传统的光学检测领域例如(非)球面面形测量[2]、角位移测量[3]等有着广泛的应用，在光谱成像或是偏振光谱成像方面也是傅里叶变换光谱仪的主要实现手段。除此之外，它在定量相位显微(DPM)、光学相干层析(OCT)、光学衍射层析(ODT)等新兴领域[4]也有十分广泛的应用。

横向剪切干涉按照剪切原理的不同可以分为衍射方式和非衍射方式，两者在设计思路、光路结构上有着较大的差异。其中，衍射方式一般利用光栅产生多个方向不同、形状与待测光波相同的衍射光波，目前研究的方向主要是采用复合光栅的多波前剪切干涉，即一幅干涉图是由多组剪切波前叠加产生的；非衍射方式一般采用平行平板、棱镜、偏振器件或者是一些特殊的光路结构产生横向剪切，这种方式一般只能产生一组一个方向的剪切波前，这导致与该方向正交方向的相位偏差无法反映到干涉图中，因而常常需要两组干涉系统(剪切方向相互正交)。衍射方式最大的优点是能实现一组正交方向的横向剪切，从而避免了采用两组光路，但它受限于加工工艺，光栅的实际衍射光波相比于理论设计，存在难以避免的系统误差(包括波前形状误差、衍射方向偏差以及杂散衍射级次等方面的误差)；为了尽量减小这个系统误差，光栅加工的精度要求很高，导致了高成本。本章主要关注的是非衍射方式的双波前横向剪切干涉，而第4章将介绍基于衍射方式的多波前横向剪切干涉。

横向剪切干涉的基本概念

横向剪切干涉的理论基础

横向剪切干涉不同于其他干涉系统，并没有所谓“参考波”与“测试波”，参与干涉的两束光波均是携带待测物信息的原始光波的一种“复制”，即波前形状完全一样，仅存在横向平移的两个波前。从硬件上讲，剪切干涉的关键点就是生成这样两个波前，产生这两个波前的结构叫作剪切装置，两个波前之间的横向偏移叫作剪切量。横向剪切干涉系统的结构比传统干涉系统简单，一般而言它只有一条光路。若不考虑前置光源、光束整形装置以及后置成像、采集装置，其主体结构可以表示为：待测波前W0 通过剪切装置后产生两个具有一定横向偏移的剪切波前(W1 和W2 )，两者在重叠区域发生干涉，如图3-1所示。

图3-1 横向剪切干涉系统原理示意图。(a) 待测波前以平面波为模板；(b) 待测波前以球面波为模板

常见的待测波前有两种形式，即如图3-1(a)所示以平面波为模板的波前和图3-1(b)所示以球面波为模板的波前，其中前者以平面波为参考标准，待测信息反映在待测波前相对于标准平面波的偏差，一般用于光学元件面形的检测；后者以球面波为参考标准，待测信息反映在待测波前和参考球面波之间的偏差，一般用于光学系统出射波前的检测(常以会聚光波入射到剪切装置)。

参与剪切的两波前由剪切装置产生，理论上应该具有相同的强度和相位分布，仅存在一定的横向平移，因而在其重叠区域将会发生干涉。值得注意的是，横向剪切干涉的干涉图对应的相位分布是两个剪切波前的差分(称差分波前)而不是待测波前自身，所以，和传统干涉系统不同，横向剪切干涉图并不直接反映待测物的信息。此外，由于干涉只在两波前重叠的范围内发生，横向剪切干涉图的有效区域的大小和轮廓也同传统干涉仪的干涉图不同。图3-2对横向剪切干涉和传统干涉(迈克尔逊式)的系统结构和干涉图样进行了比较。

图3-2 两种干涉系统及对应干涉图。(a) 横向剪切干涉系统( W0 为待测波前，W1 和 W2 为剪切波前)；(b) 传统干涉系统( W0 为待测波前，W1 为参考波前)；(c) 横向剪切干涉图；(d) 传统干涉图(其中图(c)和(d)对应同一待测波前)

横向剪切干涉的数学模型

剪切量与剪切率

在对横向剪切干涉中的一些数学关系进行定量说明之前，首先要对该领域涉及的两个重要概念即剪切量和剪切率进行定义。

首先是剪切量。对于待测波前为近似平面波的系统而言，剪切量是参与剪切干涉的两波前的横向偏移。需要注意的是，这里的“横向”可以是与系统光轴正交的观察面内的任意方向。如图3-3(a)所示，宽度为D的待测波前W0 用虚线表示，由其横向偏移产生的两个波前(称为剪切波前)、用实线表示，偏移方向设为与x轴夹角为 θ，剪切量 S 则为偏移量的大小。为了后续计算时方便，一般会选择剪切方向为所建坐标系的坐标轴方向，这里以x轴为例，如图3-3(b)所示。同一待测波前采用不同的剪切方向得到的干涉条纹通常是不同的。

图3-3 剪切量定义示意图。(a) 沿任意方向剪切；(b) 沿坐标轴方向剪切(x轴方向)

在实际测试中，光束孔径的大小会发生变化。为了更合理地描述两波前在观察面上重叠区域的相对大小，剪切率的概念就被定义了。这里给出剪切率 β 的定义式，为剪切量 S 与孔径 D 之比：

需要说明的是，式(3-1)仅仅是剪切率的定义式，在实际计算剪切率的时候，一般运用的是它与系统各光学、结构参数之间的数学关系，这些数学关系是搭建一个横向剪切干涉系统之前必须要确定的。剪切率在横向剪切干涉测量中是一个关键参数，它与系统的灵敏度、动态范围等性能指标都有密切的关系。灵敏度 σ (定义为差分波前与待测波前之比，它会影响干涉图对比度)与 β 的数学关系并非线性，但当 β 很小时，可以认为 σ 与 β 近似成正比。过低的 σ 会导致干涉条纹对比度的下降，故而 σ 一般决定了 β 的下限。动态范围DNR(通常认为是能测量的最大波前斜率)主要受探测器香农采样定理限制(探测器理论上需要至少2个像素采样一个条纹，实际上需要4～8个像素)，它与 β 的关系比较复杂。可以得出的一点规律是，当待测波前及差分波前的大小均单调变化且 β 较小时， DNR 与 β 成反比，决定了 β 的上限。 σ 、 DNR 与 β 的关系可以用一组函数曲线图来形象地模拟。

图3-4中用一维余弦函数来模拟待测波前。其中两条实曲线为相互错位的剪切波前，虚线所绘曲线为剪切波前；横轴为坐标，纵轴为相位大小(即函数值的大小)。从图3-4(a)到(d)，随着剪切率 β (反映在两条实曲线相互错位的程度)不断增大(从0.05增大到0.20)，表示差分波前的虚曲线其峰-谷(PV)值不断增加、曲线斜率不断增大(选用坐标原点为参考点)。根据此前对 σ 和 DNR 的分析，在此过程中，灵敏度 σ 逐渐变大而动态范围 DNR 逐渐变小。

图3-4 灵敏度与动态范围随剪切率变化示意图。(a) 剪切率为0.05；(b) 剪切率为0.10；(c) 剪切率为0.15；(d) 剪切率为0.20

横向剪切干涉的数学表示

记待测波前为W(x,y)，其中(x,y)为归一化的孔径坐标。若将剪切方向设为x轴方向，剪切率设为 β ，则剪切装置产生的两个相互错位的剪切波前W1 、W2 可以表示为：

假设待测波前为带有畸变的平面波，则重叠区域的干涉场E(复振幅)可以表示为：

式中，A为待测波前振幅。对应的干涉图样为：

由式(3-4)中可见，两剪切波前之差(定义为差分波前，记为 ΔW )决定了干涉面上的条纹分布，可以表示为：

式中，n为条纹序数。当剪切率 β 很小时，式(3-5)可以改写成微分的形式：

式(3-6)说明了剪切率 β 与系统灵敏度 σ 、动态范围 DNR 的定量关系。首先，根据此前定义 σ 可以表示为：

当 β 很小时，将式(3-6)代入式(3-7)可得此时 σ 正比于 β ：

对于 DNR ，讨论变得复杂一些。首先，对于横向剪切干涉而言，香农采样定理作用于差分波前的斜率上。这里以实际中常要求的8像素采样一个波长条纹为例，差分波前的斜率需要满足如下条件：

式中，N 为像素坐标归一化时引入的常系数。因而，不等式右边为一常数，记为ρ0 。当式(3-6)的条件满足时，式(3-9)可以改写为：

式中，待测波前梯度（）的最大倾斜与 β 成反比。此时若 W 与均为单调函数，则待测波前梯度自身的最大值也与 β 成反比，即动态范围：

波前畸变与干涉图样

实际的待测波前通常是带有波前畸变(或理解为几何光学中的像差)的近似平面波或球面波，为了评价待测波前的质量，需要对波前畸变进行定量描述。

泽尼克多项式[5](Zernike Polynomials，又称Zernike方程ZF)是一种常用的方法。它的基底在单位圆上正交，且与几何像差有着对应关系，非常适合像质评价。采用Zernike多项式，待测波前可以表示为：

式中，为Zernike多项式的基底，为多项式系数，N为多项式项数。关于Zernike多项式的细节本书1.4节已经详细介绍过，这里不再重复。而对于横向剪切干涉而言，差分波前的描述更为重要。在式(3-12)的基础上可以得出差分波前的Zernike多项式表示形式，称为差分Zernike多项式(Difference Zernike Polynomials)：

式中，为差分Zernike多项式的基底，是两剪切波前Zernike多项式的基底之差。剪切率是差分Zernike多项式中一个重要参数，决定了实际得到的干涉图样形状。表3-1给出了剪切率为0.2时多项式前16项单独对应的干涉图样。

上述文章摘自

书名：新型共路干涉仪

作者：杨甬英凌曈著

出版社：浙江大学出版社

横向剪切干涉测试技术——横向剪切干涉的基本概念

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